Assalamualaikum Wr.WbPuji syukur kehadirat Allah SWT atas karunianya SMP Negeri 7 Bogor dapat menyajikan informasi melalui website sekolah ini.Di era global dan pesatnya teknologi informasi, keberadaa...Read More
Blog Guru
Berpikir Matematis : Berpikir Aksiomatis
Berpikir matematis merupakan kegiatan mental yang dalam prosesnya selalu menggunakan abstraksi atau generalisasi. Dalam proses aktivitas ini, salah satu hal penting yang diusung oleh para ilmuwan di era Euclids adalah berpikir aksiomatis.
Berpikir aksiomatis adalah suatu pernyataan yang dibuat mesti berlandaskan pada pernyataan sebelumnya, pernyataan sebelumnya harus berlandaskan pernyataan sebelumnya lagi dan seterusnya, sehingga sampai pada pernyataan yang paling awal diajukan. Pernyataan yang paling awal diajukan deianggap benar dan jelas dengan sendirinya. Penyataan awal tersebut disebut aksioma atau postulat. Dengan aksioma kita tidak perlu lagi membuktikan kebenarannya, dan kebenaran tersebut kita terima begitu saja karena sudah jelas dengan sendirinya.
Pada hakikatnya, landasan berpikir matematis itu merupakan kesepakatan-kesepakatan yang disebut dengan aksioma. Dengan aksioma-aksioma inilah matematika berkembang menjadi banyak cabang matematika. Karena landasanya adalah aksioma, maka matematika merupakan sistem aaksiomatik. Dalam sistem yang aksiomatik inilah kumpulan-kumpulan aksioma-aksioma itu memiliki sifat taat asas (consistent), dengan hubungan antar aksioma adalah saling bebas (adjoint).
Agar berpikir aksiomatis ini sah dan benar, maka ada beberapa faktor yang perlu diperhatikan, yaitu:
- harus ada konssistensi antara pernyataan yang satu dengan pernyataan yang lain. Tidak boleh ada pernyataan yang kontradiktif. Dalam hal ini berlaku dalil : jika P=Q, dan Q=R maka P=R.
- setiap pernyataan yang disusun harus dapat menghasilkan satu atau lebih pernyataan yang lain. Misalnya pernyataan : Setiap orang perlu makan. Apakah dari pernyataan ini ada pernyataan lain yang dapat diturunkan? Orang perlu makan untuk bertahan hidup, orang perlu bertahan hidup untuk beribadah, dan seterusnya.
- setiap aksioma yang ditetapkan harus bebas dari aksioma yang lain.
Selama masih terkait dengan pernyataan yang lain, maka pernyataan itu belum
disebut aksioma. Euclids menyajikan sejumlah aksioma, diantaranya:
- Jika A=B maka berlaku B=A
- Jika A=B dan C=D maka berlaku A+C=B+D
- Jika A=B dan C=D maka berlaku A-C=B-D
- Keseluruhan lebih besar dari sebagian
- Hanya dapat dibuat sebuah garis dari sebuah titik ke sebuah titik yang lain.
- Semua sudut siku-siku selalu sama dengan sudut siku-siku yang lain.
Dari suatu aksioma dapat diturunkan suatu dalil. Misalnya dari aksioma 5 dapat diturunkan pernyataan berikut: melalui sebuah titik P yang berada di luar garis g, hanya dapat dibuat satu garis lain l yang tegak lurus dengan garis g. Karena ini merupakan hasil turunan dari pernyataan yang lain, maka pernyataan ini bukan aksioma, bukan postulat. Karena itu, kebenarannya harus dibuktikan.
Cara berpikir aksiomatis ini merupakan salah satu tonggak utama perkembangan matematika era Yunani. Dua tonggak yang lain adalah berkaitan dengan ketakberhinggan, limit, dan proses penjumlahan. Masalah tak berhingga dan limit pada zaman itu belum dapat dijawab sampai dengan ditemukan cabang matematika yang lain yang disebut kalkulus. Tonggak lain berkaitan dengan geometri tingkaat lanjut, yaitu membicarakan selain garis lurus dan lingkaran.
Aksioma-aksioma yang digunakan untuk menyusun sistem matematika itu menentukan bentuk sistem matematika itu sendiri. Apabila aksiomanya diubah, sistemnya pun ikut berubah, sehingga teorema-teorema yang diperoleh dari aksioma-aksioma yang mempergunakan penalaran itu akan berubah pula.
Dalam semua penalaran deduktif, kesimpulan yang ditarik merupakan akibat logis dari alasan-alasan yang bersifat umum menjadi hal yang bersifat khusus. Dengan alasan-alasan yang bersifat umum yang mendasarinya, maka kesimpulan tidak perlu lagi diragukan lagi. Penerapan cara berpikir deduktif ini akan menghasilkan teorema-teorema. Dan teorema-teorema inilah yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah, baik dalam matematika sendiri maupun ilmu lain.
Perumusan yang diperoleh dari penalaran induktif bukan termasuk kategori berpikir matematika. Menalar secara induktif (bedakan dengan pembuktian metode induksi matematik) memerlukan pengamatan, yang akan digunakan sebagai dasar argumentasi, sebab penarikan kesimpulannya berasal dari alasan-alasan yang bersifat khusus menjadi bersifat umum. Meskipun pengamatan itu terbatas dan tidak cermat. Dengan demikian, hasil pengamatan tidak akan memperoleh hasil akhir atau kesimpulan yang sahih.
Berpikir deduktif digunakan untuk menentukan agar kerangka pemikiran itu koheren dan logis. Matematika yang logis itu dapat menemukan pengaturan baru dari pengetahuan sebelumnya yang sudah diketahui. Walaupun matematika itu menggunakan penalaran deduktif, dalam proses kreatifnya kadang-kadang juga menggunakan intuisi, imajinasi, penalaran induktif, atau bahkan coba-coba (trial and error). Tetapi, pada akhirnya penemuan dari proses kreatif harus diorganisasikan dengan pembuktian secara deduktif.
Sebagai landasan matematika, aksioma dapat diperoleh dari dunia nyata atau alam sekitar, sebagai sumber inspirasi yang selanjutnya diabstraksikan dan digeneralisasikan dengan menggunakan simbol-sombol. Dengan menggunakan bahasa matematika yang penalarannya deduktif, diperoleh teorema, yang kemudian dikembangkan menjadi teorema-teorema yang pada akhirnya dapat diaplikasikan terhadap ilmu-ilmu lain, yang bermanfaat untuk kehidupan di dunia ini.
BLOG Ahmad Mustofa LAINNYA
Tujuan Pembelarajaran Matematika
Terdapat kaitan antara penguasaan matematika dengan ketinggian, keunggulan dan kelangsungan hidup suatu peradaban. Penguasaan matematika tidak cukup hanya dimiliki oleh sebagian orang dalam suatu peradaban. Setiap individu perlu memiliki penguasaan matematika pada tingkat tertent...
Read MoreAhmad Mustofa 08:33:04 12-09-2014
Berpikir Kritis
Setiap manusia berpikir karena berpikir sudah merupakan sifat dasar manusia. Namun, sebagian besar pikiran manusia itu berat sebelah, menyimpang, parsial (tidak utuh), tak didukung oleh informasi yang cukup, atau memiliki prasangka-prasangka tertentu. Namun demikian, kualitas kehidupan m...
Read MoreAhmad Mustofa 09:48:59 01-09-2014
Strategi Pemecahan Masalah Matematika
Berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikannya merupakan ciri khas makhluk hidup yang berakal. Pemecahan masalah (problem solving) merupakan latihan bagi siswa untuk berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikan. Ini adalah salah satu...
Read MoreAhmad Mustofa 09:45:08 01-09-2014
Berpikir Matematis : Berpikir Aksiomatis
Berpikir matematis merupakan kegiatan mental yang dalam prosesnya selalu menggunakan abstraksi atau generalisasi. Dalam proses aktivitas ini, salah satu hal penting yang diusung oleh para ilmuwan di era Euclids adalah berpikir aksiomatis. Berpikir aksiomatis adalah suatu pernyataan ya...
Read MoreAhmad Mustofa 12:16:23 13-08-2014
Hakim Tertinggi dalam Matematika
Kebenaran merupakan hal teramat penting dalam ilmu pengetahuan maupun di luar ilmu pengetahuan. Dalam kehidupan sehari-hari juga dikenal kebenaran dan ketidakbenaran. Tindakan atau ucapan seseorang sering digolongkan kepada "benar" dan "tidak benar", meski dalam perkembangannya dim...
Read MoreAhmad Mustofa 11:18:59 13-08-2014
MATHEMATICS PROBLEM SOLVING
A. Pemecahan Masalah dalam Pembelajaran MatematikaMasalah dalam matematika merupakan soal-soal yang belum diketahui prosedur pemecahannya oleh siswa. Pemecahan masalah merupakan upaya memperoleh solusi masalah dengan menerapkan pengetahuan matematika dan melibatkan keterampilan siswa ber...
Read MoreAhmad Mustofa 10:01:24 13-08-2014
Matematika dan Kita
Tidak dapat dipungkiri kebanyakan dari guru mempunyai pengalaman tidak menyenangkan sewaktu mempelajari matematika di SD, SMP, atau SMA. Kenyataan ini tidak jarang berubah menjadi suatu kebencian terhadap apa saja yang berhubungan dengan matematika. Bahwasanya matematika tidak disenangi di masyaraka...
Read MoreAhmad Mustofa 09:52:22 13-08-2014